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第2章 数学与工程基础
2.1 数学统计基础
概率论与数理统计作为一门学科，主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析，以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的判断和预测。通过学习概率论与数理统计，可以培养系统分析师以随机观点来理解丰富多彩的现实世界的思维，形成数学思考和分析的意识，提高解决问题的能力。
2.1.1 古典概率应用
人们在客观世界中所观察到的现象大致可以分为两类：一类是在一定条件下必然发生的，这类现象是可以事前预言的，其结果是确定的，称为确定性现象或必然现象；另一类是在一定条件下可能发生也可能不发生，这类现象在观察之前无法预知它的准确结果，称为随机现象。
1. 事件
可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果事先不可预知的试验称作随机试验。在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。随机试验中每一个可能的试验结果称为样本点，样本点的全体称为样本空间，常用表示。
必然发生的事件称为必然事件，必然事件包含所有的样本点，因而为；不可能发生的事件称为不可能事件，不可能事件不包含任何样本点，记作（空集）。
如果事件发生必然导致事件发生，则称是的子事件，或称事件包含事件，记作；如果且，即与同时发生或同时不发生，则称等于，记作。
(1) 和事件。如果都是事件，则事件"中至少有一个发生"称作和事件，记作。和事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥ 如果，则
(2) 积事件。如果都是事件，则事件"同时发生"称作的积事件（与事件、交事件），记作。积事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥ 如果，则
(3) 差事件。如果是两个事件，则事件"发生且不发生"称为与的差事件，记作。差事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
(4) 逆事件。如果是样本空间，是一个事件，则称为的逆事件或对立事件，记作。发生当且仅当不发生。逆事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥
(5) 互斥事件。如果是两个事件，且与不可能同时发生，则称与为互斥事件，也称不相容事件。逆事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定互为逆事件。
2. 概率
在不变的条件下，重复做次试验，设次试验中事件发生次。如果当很大时，稳定地在某一数值的附近摆动，而且随着的增大，这种摆动的幅度变小，则称数值为事件的概率，记作。
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。以下是概率的基本性质和一些重要公式的总结：
1. 概率的基本性质
空集和全集的概率：
- ：空集的概率为0。
- ：全集的概率为1。
- 注意：概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件也不一定是必然事件。
概率的取值范围：
- 对于任何事件，。
补事件的概率：
- ，其中表示事件的补事件。
差事件的概率：
- ，其中表示事件和事件的交集。
包含关系的概率：
- 当时，。
2. 条件概率
条件概率是指在事件发生的条件下，事件发生的概率，记作：
3. 事件的独立性
两个事件和是独立的，当且仅当：
如果和独立，则。
4. 加法公式
对于任意两个事件和：
5. 乘法公式
对于任意两个事件和：
6. 全概率公式
如果事件构成一个完备事件组（即它们互不相容且并集为全集），则对于任意事件：
7. 贝叶斯公式
贝叶斯公式用于在已知的情况下，求：
8. 伯努利二项概率公式
伯努利试验是指在相同条件下重复进行次独立试验，每次试验只有两种可能的结果（成功或失败），且每次试验成功的概率为，失败的概率为。在次试验中恰好发生次成功的概率为：
其中是组合数，表示从次试验中选出次成功的方式数。
2.1.2 随机变量及其分布
给定随机变量，它的取值不超过实数的事件的概率可以看作的函数，称为的概率分布函数，记作。即
分布函数具有下述性质：
①
② ，
③ 若，则
④
⑤
⑥
- 离散型随机变量
如果随机变量只能取有限个或可数个数值，则称为离散型随机变量，而的概率分布为
离散型随机变量具有下述性质：
- 连续型随机变量
如果存在非负可积函数，使得随机变量的分布函数能够表示为
则称为连续型随机变量，而称为的分布密度函数。连续型随机变量具有下述性质：
①
② 分布函数在上连续
③ 若在处连续，则
二维随机变量是指由两个随机变量组成的向量，它们可以是离散型的或连续型的。以下是二维离散型和连续型随机变量的定义及相关性质：
- 二维离散型随机变量
定义：
如果随机变量的所有可能取值是有限或可数无限的，则称为二维离散型随机变量。
联合概率分布：
二维离散型随机变量的联合概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示：
其中满足：
- ；
- 。
边缘分布：
- 的边缘分布：
- 的边缘分布：
条件分布：
- 在的条件下，的条件分布：
- 在的条件下，的条件分布：
独立性：
和是独立的，当且仅当：
- 二维连续型随机变量
定义：
如果随机变量的取值是连续的，且存在一个非负函数，使得对于任意区域，有：
则称为二维连续型随机变量，称为联合概率密度函数（PDF）。
联合概率密度函数：
满足：
- ；
- 。
边缘分布：
- 的边缘概率密度函数：
- 的边缘概率密度函数：
条件分布：
- 在的条件下，的条件概率密度函数：
- 在的条件下，的条件概率密度函数：
独立性：
和是独立的，当且仅当：
2.1.3 随机变量的数字特征
分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，但在实际问题中，要求出分布函数并非易事。在许多常见的分布中都有一些参数，参数确定则分布函数随之确定。所谓数字特征，是指与随机变量分布相关的一些特征数，它们能够反映这些分布在某些方面的重要特性，并且决定这些分布中的参数。
- 数学期望
设离散型随机变量的概率分布为
如果级数绝对收敛，则称该级数为的数学期望（均值），记作。即
设连续型随机变量的密度函数为，如果积分绝对收敛，则称该积分为的数学期望。即
数学期望反映了随机变量的取值中心，具有如下性质：
① ，其中是常数
② ，其中是常数
2.1.4 常用分布
文中后续提到了许多常用分布的内容，但在图片中并未完整显示。
2. 方差
如果随机变量的数学期望存在，则称它为的方差，记作。的平方根称为的均方差（标准差）。
如果是离散型随机变量，则
如果是连续型随机变量，则
方差反映了随机变量取值分散的程度。方差越小，取值越集中；方差越大，取值越分散。
方差具有以下性质：
①
② ，其中是常数
③ ，其中是常数
④ 若相互独立，则
⑤ 的充分必要条件是，其中是常数
⑥
(2) 积事件。如果都是事件，则事件"同时发生"称作的积事件（与事件、交事件），记作。积事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥ 如果，则
(3) 差事件。如果是两个事件，则事件"发生且不发生"称为与的差事件，记作。差事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
(4) 逆事件。如果是样本空间，是一个事件，则称为的逆事件或对立事件，记作。发生当且仅当不发生。逆事件具有以下定律：
①
②
③
④
⑤
⑥
(5) 互斥事件。如果是两个事件，且与不可能同时发生，则称与为互斥事件，也称不相容事件。逆事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定互为逆事件。
2. 概率
在不变的条件下，重复做次试验，设次试验中事件发生次。如果当很大时，稳定地在某一数值的附近摆动，而且随着的增大，这种摆动的幅度变小，则称数值为事件的概率，记作。
(1) 概率的基本性质。具体包括：
① ，。
注意：概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件也不一定是必然事件。
② 对于任何事件，。
③ 。
④ 。
⑤ 当时，则。
2.1.2 随机变量及其分布
给定随机变量，它的取值不超过实数的事件的概率可以看作的函数，称为的概率分布函数，记作。即
分布函数具有下述性质：
①
② ，
③ 若，则
④
⑤
⑥
- 离散型随机变量
如果随机变量只能取有限个或可数个数值，则称为离散型随机变量，而的概率分布为
离散型随机变量具有下述性质：
- 连续型随机变量
如果存在非负可积函数，使得随机变量的分布函数能够表示为
则称为连续型随机变量，而称为的分布密度函数。连续型随机变量具有下述性质：
①
② 分布函数在上连续
③ 若在处连续，则
2.1.3 随机变量的数字特征
分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，但在实际问题中，要求出分布函数并非易事。在许多常见的分布中都有一些参数，参数确定则分布函数随之确定。所谓数字特征，是指与随机变量分布相关的一些特征数，它们能够反映这些分布在某些方面的重要特性，并且决定这些分布中的参数。
- 数学期望
设离散型随机变量的概率分布为
如果级数绝对收敛，则称该级数为的数学期望（均值），记作。即
设连续型随机变量的密度函数为，如果积分绝对收敛，则称该积分为的数学期望。即
数学期望反映了随机变量的取值中心，具有如下性质：
① ，其中是常数
② ，其中是常数